关于莫比乌斯函数的一些证明

$\because x,y$互质

$\therefore x,y$的质约数完全不同

然后假设$x,y$都没有平方因子，且质因数个数分别为$n,m$

$\mu (x)=(-1{)}^n\dots \mathrm{①}$

$\mu (y)=(-1{)}^m\dots \mathrm{②}$

$\mathrm{①}\times \mathrm{②}$得到$\mu (x)\times \mu (y)=(-1{)}^{n+m}=\mu (x\times y)$

特别的，$x,y$其中有平方因子，那么$\mu (x)\times \mu (y)=0$

$\therefore x\times y$也必定有平方因子那么$\mu (x\times y)=0$

整理得出$\mu (x\times y)=\mu (x)\times \mu (y)$

$\because$显然不用考虑n的那些$\mu (d)=0$的因数$d$

$\therefore$对于有$k$个互异质因数的$n$来说

由$r$个质因数乘起来的的因数$d$有$C_k^r$个

$\therefore \sum _{d|n}\mu (d)$

$=C_k^0+(-C_k^1)+\dots +(-1{)}^i{C}_k^i+\dots +(-1{)}^k{C}_k^k$

$=\sum _{i=0}^k(-1{)}^i{C}_k^i$

$\because$二项式定理：$(x+y{)}^k=\sum _{i=0}^k{C}_k^i{x}^i{y}^{k-i}$

$\therefore$令$x=-1,y=1$，代入就可以得证。

$\sum _{d|n}\mu (d)F\left(\frac{n}{d}\right)$

$=\sum _{d|n}\mu (d)\sum _{k|\frac{n}{d}}f(k)$

$=\sum _{k|n}f(k)\sum _{d|\frac{n}{k}}\mu (d)$

$\because$只有$n=1$时，有$\sum _{d|n}\mu (d)=1$，否则$\sum _{d|n}\mu (d)=0$

$\therefore$只有$k=n$时，有$\sum _{d|\frac{n}{k}}\mu (d)=1$，否则$\sum _{d|\frac{n}{k}}\mu (d)=0$

$\therefore \sum _{k|n}f(k)\sum _{d|\frac{n}{k}}\mu (d)=f(n)$