关于莫比乌斯函数的一些证明

莫比乌斯函数是积性函数，即若x,y互质,则满足

$\mu(x\times y)=\mu(x)\times \mu(y)$

证明过程在楼下

$\because x,y$互质

$\therefore x,y$的质约数完全不同

然后假设$x,y$都没有平方因子，且质因数个数分别为$n,m$

$\mu(x)=(-1)^n…①$

$\mu(y)=(-1)^m…②$

$①\times ②$得到$\mu(x)\times \mu(y)=(-1)^{n+m}=\mu(x\times y)$

特别的，$x,y$其中有平方因子，那么$\mu(x)\times \mu(y)=0$

$\therefore x\times y$也必定有平方因子那么$\mu(x\times y)=0$

整理得出$\mu(x\times y)=\mu(x)\times \mu(y)$

当$n=1$时，显然有$\sum_{d|n}\mu(d)=1$

当$n\neq 1$时，有这样的式子

$\sum_{d|n}\mu(d)=0$

$\because$显然不用考虑n的那些$\mu(d)=0$的因数$d$

$\therefore$对于有$k$个互异质因数的$n$来说

由$r$个质因数乘起来的的因数$d$有$C^r_k$个

$\therefore \sum_{d|n}\mu(d)$

$=C^0_k+(-C^1_k)+…+(-1)^iC^i_k+…+(-1)^kC^k_k$

$=\sum^k_{i=0}(-1)^iC^i_k$

$\because$二项式定理：$(x+y)^k=\sum^k_{i=0}C^i_kx^iy^{k-i}$

$\therefore$令$x=-1,y=1$，代入就可以得证。

任意积性函数$f(n)$

造个求和函数$F(n)=\sum_{d|n}f(d)$

则有$f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F\left(\frac{n}{d}\right)$

证明过程在楼下

$\sum_{d|n}\mu(d)F\left(\frac{n}{d}\right)$

$=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{k|\frac{n}{d}}f(k)$

$=\sum_{k|n}f(k)\sum_{d|\frac{n}{k}}\mu(d)$

$\because$只有$n=1$时，有$\sum_{d|n}\mu(d)=1$，否则$\sum_{d|n}\mu(d)=0$

$\therefore$只有$k=n$时，有$\sum_{d|\frac{n}{k}}\mu(d)=1$，否则$\sum_{d|\frac{n}{k}}\mu(d)=0$

$\therefore \sum_{k|n}f(k)\sum_{d|\frac{n}{k}}\mu(d)=f(n)$